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レイリー商の最大値

定理 3.1（「主成分分析」§3）・ ✓公理まで証明済み

$S \in \mathbb{R}^{p\times p}$ を実対称行列とし、定理 2.5 の記号を使う。このとき

\max_{\|\boldsymbol{u}\| = 1} \boldsymbol{u}^{\mathsf{T}} S \boldsymbol{u} = \lambda_1

が成り立ち、最大値は $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{v}_1$ で達成される。さらに、最大値を達成する単位ベクトルの全体は、固有値 $\lambda_1$ の固有空間 $\ker(S - \lambda_1 I)$ に含まれる単位ベクトルの全体と一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列のスペクトル定理✓定理 2.5・主成分分析
- 注意 2.6主成分分析
- 標本共分散行列は対称かつ半正定値✓補題 2.4・主成分分析

これを使っている定理証明で参照している 3 件

第 1 主成分は最大固有値の固有ベクトル✓系 3.3・主成分分析
逐次的な分散最大化と固有値の対応✓定理 4.1・主成分分析
最良近似アフィン部分空間✓定理 5.1・主成分分析