実対称行列のスペクトル定理

$S \in \mathbb{R}^{p \times p}$ が $S^{\mathsf{T}} = S$ を満たすとする。このとき $\mathbb{R}^p$ の正規直交基底 $\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_p$ と実数 $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_p$ が存在して、すべての $j$ について $S\boldsymbol{v}_j = \lambda_j \boldsymbol{v}_j$ が成り立つ。行列で書けば、$V = [\boldsymbol{v}_1\ \cdots\ \boldsymbol{v}_p]$、$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_p)$ として $V^{\mathsf{T}}V = I_p$ かつ $S = V \Lambda V^{\mathsf{T}}$ である。さらに $S$ が半正定値ならば $\lambda_p \ge 0$、すなわちすべての固有値は非負である。