主成分得点の性質

定義 3.2 の主成分得点 $z_{ik}$ について、次が成り立つ。

1. 各 $k$ について $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_{ik} = 0$。
2. 各 $k, l$ について $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_{ik} z_{il} = \lambda_k \delta_{kl}$。すなわち第 $k$ 主成分得点の標本分散は $\lambda_k$ であり、異なる主成分得点どうしの標本共分散は $0$ である。
3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{p} \lambda_k = \operatorname{tr} S = \sum_{j=1}^{p} s_{jj} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\|\boldsymbol{y}_i\|^2$。