特異行列までの距離

定理 6.4（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{K})$ を正則とし、 $\mathbb{K}^n$ の任意のノルムとその誘導ノルムをとる。

\min\left\{\frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}:\Delta A\in M_n(\mathbb{K}),\ A+\Delta A\text{ は特異}\right\}=\frac1{\kappa(A)}

であり、最小は階数 1 の $\Delta A$ で達成される。2 ノルムでは $\kappa_2(A)=\sigma_1/\sigma_n$ で、最小値は $\sigma_n/\sigma_1$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 35 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

逆行列の摂動✓補題 6.1・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
  - 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
    階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
  - 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式
    行列の積定義 4.1・行列と連立一次方程式
  - 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
- Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化（上で展開済み）
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
ユニタリ不変性と Frobenius ノルム✓命題 4.4・行列のノルムと線形方程式の条件数
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形（上で展開済み）
- 1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数（上で展開済み）
1・∞・2 ノルムの公式✓命題 4.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

正規方程式の条件数✓命題 4.4・最小二乗問題

特異行列までの距離

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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