数学 › 数値線形代数 › 行列のノルムと線形方程式の条件数

逆行列の摂動

補題 6.1（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{K})$ を正則、 $E\in M_n(\mathbb{K})$ とし、 $\|A^{-1}E\|<1$ とする。このとき $A+E$ は正則で

\|(A+E)^{-1}\|\le\frac{\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}E\|},\qquad \|(A+E)^{-1}-A^{-1}\|\le\frac{\|A^{-1}\|\,\|A^{-1}E\|}{1-\|A^{-1}E\|}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
- 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式
  - 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式（上で展開済み）
  - 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式
- 基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式
  - 行列の積定義 4.1・行列と連立一次方程式
- 階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式

これを使っている定理証明で参照している 3 件

反復改良の収束✓定理 5.1・Gauss 消去と LU 分解
線形方程式の摂動定理✓定理 6.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
特異行列までの距離✓定理 6.4・行列のノルムと線形方程式の条件数

関連するノック 3 問