反復改良の収束

$A\in M_n(\mathbb{K})$ を正則、$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ とし、ベクトルノルムとその誘導ノルムを 1 つ固定する。$\boldsymbol{x}_0$ から次のように $\boldsymbol{x}_k$ を作る。

ここで $\boldsymbol{g}_k$ は残差の計算誤差、$E_k$ は補正方程式を解く誤差、$\boldsymbol{f}_k$ は足し算の誤差である。$\|A^{-1}E_k\|\le\theta\lt1$ がすべての $k$ で成り立つとき、$\boldsymbol{e}_k=\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{x}$ は

を満たす。とくに $\boldsymbol{g}_k=\boldsymbol{f}_k=\boldsymbol{0}$ で $\theta\lt1/2$ なら、誤差は 1 回ごとに $\theta/(1-\theta)\lt1$ 倍以下に縮み、$\boldsymbol{x}_k\to\boldsymbol{x}$ である。