数学 › 数値線形代数 › 行列のノルムと線形方程式の条件数

線形方程式の摂動定理

定理 6.3（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§6） ・ ✓公理まで証明済み

A∈Mn(K)A\in M_n(\mathbb{K}) を正則、b≠0\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}、Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} とする。ΔA,Δb\Delta A,\Delta\boldsymbol{b} が ∥A−1∥∥ΔA∥<1\|A^{-1}\|\|\Delta A\|<1 を満たし、(A+ΔA)(x+Δx)=b+Δb(A+\Delta A)(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})=\boldsymbol{b}+\Delta\boldsymbol{b} ならば

∥Δx∥∥x∥≤κ(A)1−κ(A)∥ΔA∥∥A∥(∥ΔA∥∥A∥+∥Δb∥∥b∥).\frac{\|\Delta\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}\le\frac{\kappa(A)}{1-\kappa(A)\dfrac{\|\Delta A\|}{\|A\|}}\left(\frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}+\frac{\|\Delta\boldsymbol{b}\|}{\|\boldsymbol{b}\|}\right).

とくに ∥ΔA∥≤ε∥A∥\|\Delta A\|\le\varepsilon\|A\|、∥Δb∥≤ε∥b∥\|\Delta\boldsymbol{b}\|\le\varepsilon\|\boldsymbol{b}\|、εκ(A)<1\varepsilon\kappa(A)<1 なら ∥Δx∥/∥x∥≤2εκ(A)/(1−εκ(A))\|\Delta\boldsymbol{x}\|/\|\boldsymbol{x}\|\le2\varepsilon\kappa(A)/(1-\varepsilon\kappa(A))。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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