前進誤差 ≤ 条件数 × 後退誤差

系 7.3（「行列のノルムと線形方程式の条件数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を正則、 $\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}$ 、 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 、 $\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{0}$ とし、 $\eta=\eta(\boldsymbol{y})$ が $\eta\,\kappa(A)<1$ を満たすとする。このとき

\frac{\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}\le\frac{2\,\kappa(A)\,\eta}{1-\kappa(A)\,\eta}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Rigal–Gaches の公式✓定理 7.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
- ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
線形方程式の摂動定理✓定理 6.3・行列のノルムと線形方程式の条件数
- 逆行列の摂動✓補題 6.1・行列のノルムと線形方程式の条件数
  - 次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式
    階数はピボットの個数であり、行階数に等しい✓定理 8.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    階段形と簡約階段形定義 7.3・行列と連立一次方程式

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

前進誤差 ≤ 条件数 × 後退誤差

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）