列対角優位な行列の LU 分解

定理 4.7（「Gauss 消去と LU 分解」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{K})$ が狭義列対角優位、すなわちすべての $j$ で $|a_{jj}|\gt\sum_{i\ne j}|a_{ij}|$ とする。このとき（厳密な算術で）

ピボット選択なしの消去は最後まで進み、 $A=LU$ の LU 分解がある。乗数は $|l_{ik}|\lt1$ で、部分ピボット選択は行を入れ替えない。
消去の各段の残りのブロック（Schur 補行列）も狭義列対角優位である。
各列の成分の絶対値の和は消去で増えず、成長因子は $\rho_n(A)\le2$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュール補行列✓定理 4.2・行列の固有値評価と不等式
- ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
  - 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
部分ピボット選択つき LU 分解✓定理 2.3・Gauss 消去と LU 分解

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

列対角優位な行列の LU 分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）