正規分布の特性関数

補題 2.3（「特性関数と Gauss ベクトル」§2）・ ✓公理まで証明済み

$Z\sim N(0,1)$ なら $\varphi_Z(t)=e^{-t^2/2}$ 。 $Z=(Z_1,\dots,Z_d)$ が独立な標準正規変数の列なら $\varphi_Z(t)=e^{-|t|^2/2}$ 。一般に $X\sim N(m,\sigma^2)$ なら $\varphi_X(t)=e^{imt-\sigma^2t^2/2}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 74 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
  - 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
    連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
    微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
  - 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
    ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
  - 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
  - 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
    単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
    標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値この先をたどる →
    単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値この先をたどる →
  - 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値
    期待値定義 4.1・確率変数と期待値
    確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 13 件

多次元正規分布からの生成✓命題 5.3・分布からの標本抽出
Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss 分布の複素指数モーメント✓補題 2.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
エセーンの平滑化不等式✓補題 5.8・大数の法則と中心極限定理
特性関数による独立性と分布の判定✓補題 6.2・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
ウィーナー積分の分布と独立性✓命題 4.8・確率微分方程式
オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布✓命題 5.5・確率微分方程式
滑らかな局所化での森公式（原論文の (V.F.3)–(V.F.7)）✓命題 9.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
Gauss 性の判定✓定理 8.6・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
4 次元 Ising 模型のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の Ising 版）✓定理 7.5・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
φ⁴₄ のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の GS 族の場合）✓定理 7.3・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
Price の公式（ガウス補間）✓定理 6.1・Gauss 解析の道具

正規分布の特性関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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