物理学 › 構成的場の理論の原論文：反射正値性・クラスター展開・自明性 › Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部有料章

Gauss 性の判定

定理 8.6（「Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部」§8） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 130 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Wick 則からのずれの評価（原論文 Prop. 12.1 の上界）✓定理 8.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部

  • 1 点を切り離す不等式✓補題 6.1・Gauss 型の相関不等式

    • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
    • ランダムカレント表示✓命題 3.2・ランダムカレント表示と自明性

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 相関関数のウォーク表示（原論文 Prop. 9.2・9.3）✓命題 7.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部

    • ランダムカレント表示✓命題 3.2・ランダムカレント表示と自明性（上で展開済み）
    • 探索の確率の和（原論文 Lemma 9.1）✓補題 7.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
  • 重みの優乗法性（原論文 Lemma 9.3）✓補題 7.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部

    • 相関関数のウォーク表示（原論文 Prop. 9.2・9.3）✓命題 7.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部（上で展開済み）
    • GKS 不等式✓命題 4.3・ランダムカレント表示と自明性

      • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
  • 交わるウォークの 1 項の評価✓補題 7.6・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部

    • Ursell 4 点関数のランダムカレント表示✓定理 5.1・ランダムカレント表示と自明性

      • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
  • 点の複製✓補題 8.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
• 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル

  • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

    • 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

      • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
      • 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
    • 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分

      • 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
      • 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法 この先をたどる →
      • 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
      • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
  • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル

    • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

      • 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
      • 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
      • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理

  • 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
  • 分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
  • Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトル

    • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • Scheffé の補題✓補題 4.3・特性関数と Gauss ベクトル
  • Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトル

    • 特性関数による緊密性の評価✓補題 4.5・特性関数と Gauss ベクトル

      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Helly の選出原理✓補題 4.6・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
• Gauss ベクトル定義 5.1・特性関数と Gauss ベクトル
• Cramér–Wold の方法✓系 4.9・特性関数と Gauss ベクトル

  • Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• d ≥ 5 の Ising 模型の自明性（Aizenman 1982）✓定理 9.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
• 特性関数の評価（原論文 Proposition 1.4）✓命題 7.3・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
• 4 次元 Ising 模型のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の Ising 版）✓定理 7.5・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部