Cramér–Wold の方法

系 4.9（「特性関数と Gauss ベクトル」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X_n,X$ を $\mathbb{R}^d$ の確率ベクトルとする。 $X_n\xrightarrow{d}X$ であることと、すべての $a\in\mathbb{R}^d$ で $\langle a,X_n\rangle\xrightarrow{d}\langle a,X\rangle$ であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 85 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトル
- Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Scheffé の補題✓補題 4.3・特性関数と Gauss ベクトル

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Gauss 性の判定✓定理 8.6・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
4 次元 Ising 模型のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の Ising 版）✓定理 7.5・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
φ⁴₄ のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の GS 族の場合）✓定理 7.3・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部

Cramér–Wold の方法

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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