レヴィの連続性定理

定理 5.2（「大数の法則と中心極限定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

確率変数列 $(X_n)$ と確率変数 $X$ について、次が成り立つ。

$X_n \xrightarrow{d} X$ ならば、すべての $t \in \mathbb{R}$ で $\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)$ 。
逆に、ある関数 $\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ が存在して、すべての $t$ で $\varphi_{X_n}(t) \to \psi(t)$ が成り立ち、かつ $\psi$ が $t = 0$ で連続であるならば、 $\psi$ はある確率変数 $X$ の特性関数であり、 $X_n \xrightarrow{d} X$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 83 件、定義なども含めて 103 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトル
- Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Scheffé の補題✓補題 4.3・特性関数と Gauss ベクトル
Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトル
- 特性関数による緊密性の評価✓補題 4.5・特性関数と Gauss ベクトル
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- Helly の選出原理✓補題 4.6・特性関数と Gauss ベクトル
  - Lebesgue–Stieltjes 測度の存在と一意性✓定理 5.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
    拡張の一意性✓系 4.6・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理
Gauss 性の判定✓定理 8.6・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
φ⁴₄ のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の GS 族の場合）✓定理 7.3・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部

レヴィの連続性定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件