数学 › 確率論 › 大数の法則と中心極限定理

中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）

定理 5.6（「大数の法則と中心極限定理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

X1,X2,…X_1, X_2, \ldots を独立同分布な確率変数列とし、μ=E[X1]\mu = E[X_1]、σ2=Var⁡(X1)\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1) が存在して 0<σ2<∞0 < \sigma^2 < \infty を満たすとする。Sn=∑i=1nXiS_n = \sum_{i=1}^n X_i とおくとき、

Zn=Sn−nμσn→dZ∼N(0,1)Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} Z \sim N(0,1)

が成り立つ。すなわち、すべての x∈Rx \in \mathbb{R} に対して

lim⁡n→∞P(Sn−nμσn≤x)=Φ(x)=∫−∞x12πe−u2/2 du.\lim_{n\to\infty} P\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le x\right) = \Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 86 件、定義なども含めて 106 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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