数学 › 確率論 › 大数の法則と中心極限定理

ベリー・エセーンの定理

定理 5.9（「大数の法則と中心極限定理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 136 件、定義なども含めて 162 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入

  • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  • チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入

    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  • ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
• 中心極限定理（リンドバーグ・レヴィ）✓定理 5.6・大数の法則と中心極限定理

  • 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
  • 指数関数への収束✓補題 5.5・大数の法則と中心極限定理
  • レヴィの連続性定理✓定理 5.2・大数の法則と中心極限定理

    • 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
    • 分布関数による特徴づけ（d = 1）✓補題 4.2・特性関数と Gauss ベクトル
    • Lévy の連続性定理（収束先が既知の場合）✓定理 4.4・特性関数と Gauss ベクトル

      • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
      • Scheffé の補題✓補題 4.3・特性関数と Gauss ベクトル
    • Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトル

      • 特性関数による緊密性の評価✓補題 4.5・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
      • Helly の選出原理✓補題 4.6・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
      • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  • 分布収束（弱収束）定義 3.4・大数の法則と中心極限定理
• 特性関数の 2 次展開✓補題 5.4・大数の法則と中心極限定理
• エセーンの平滑化不等式✓補題 5.8・大数の法則と中心極限定理

  • 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
      • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
    • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
  • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル

    • 独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

      • 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
      • 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
      • 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値 この先をたどる →
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル

    • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル

      • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
  • 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル

    • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
    • 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  • Fourier 変換定義 2.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  • Riemann–Lebesgue の補題✓定理 2.4・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 有限標本での評価✓命題 2.3・Monte Carlo 積分と分散低減
• 標本平均のブートストラップの一致性✓定理 7.3・統計誤差の解析