情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › 経路積分 Monte Carlo

符号つきの重みの期待値と、必要な標本数

定理 8.2（「経路積分 Monte Carlo」§8） ・ ✓公理まで証明済み

定義 8.1 の設定で次が成り立つ。

  1. ⟨s⟩∣w∣=ZZ∣w∣\langle s\rangle_{|w|} = \dfrac{Z}{Z_{|w|}}、∣⟨s⟩∣w∣∣≤1|\langle s\rangle_{|w|}| \le 1、 ⟨O⟩w=⟨Os⟩∣w∣⟨s⟩∣w∣.\langle O\rangle_w = \frac{\langle Os\rangle_{|w|}}{\langle s\rangle_{|w|}}. Z>0Z > 0 のとき Z=e−βFZ = e^{-\beta F}、Z∣w∣=e−βF∣w∣Z_{|w|} = e^{-\beta F_{|w|}} で FF、F∣w∣F_{|w|} を定めると、⟨s⟩∣w∣=e−βΔF\langle s\rangle_{|w|} = e^{-\beta\Delta F}、ΔF=F−F∣w∣≥0\Delta F = F - F_{|w|} \ge 0。
  2. X1,X2,…X_1, X_2, \ldots を密度 pp に従う独立な確率変数とし、O2∣w∣O^2|w| が可積分とする。 R^N=∑i=1NO(Xi)s(Xi)∑i=1Ns(Xi)\hat R_N = \frac{\sum_{i=1}^NO(X_i)s(X_i)}{\sum_{i=1}^Ns(X_i)} （分母が 00 のときは 00 とする）は確率 11 で ⟨O⟩w\langle O\rangle_w に収束し、N(R^N−⟨O⟩w)\sqrt N(\hat R_N - \langle O\rangle_w) は平均 00、分散 σR2=⟨(O−⟨O⟩w)2⟩∣w∣⟨s⟩∣w∣2=e2βΔF ⟨(O−⟨O⟩w)2⟩∣w∣\sigma_R^2 = \frac{\langle(O - \langle O\rangle_w)^2\rangle_{|w|}}{\langle s\rangle_{|w|}^2} = e^{2\beta\Delta F}\,\langle(O - \langle O\rangle_w)^2\rangle_{|w|} の正規分布に分布収束する（最後の等号は Z>0Z > 0 のとき）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 111 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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