エネルギー法による安定性と変数係数への拡張

$a$ は $[0,1]$ 上の関数で $0 < a_0 \le a(x) \le a_1$ とし、$a_{j+1/2} = a((j + \frac12)h)$（$0 \le j \le m$）とおく。境界で $0$（$v_0 = v_{m+1} = 0$）の格子関数に作用する

（$-(au_x)_x$ の差分近似）について、次が成り立つ。

1. （部分和分）$\langle A_av, w\rangle_h = h\displaystyle\sum_{j=0}^{m}a_{j+1/2}\frac{v_{j+1} - v_j}{h}\cdot\frac{w_{j+1} - w_j}{h}$。したがって $A_a$ は対称で正定値。
2. $A_a$ の固有値は $\Lambda = 4a_1/h^2$ 以下で、$\|A_aw\|_h^2 \le \Lambda\langle A_aw, w\rangle_h$。
3. θ 法 $\frac{v^{n+1} - v^n}{\Delta t} = -A_a(\theta v^{n+1} + (1-\theta)v^n)$ の解は、$w = \theta v^{n+1} + (1-\theta)v^n$ として

を満たす。$\theta \ge \frac12$、または $\theta < \frac12$ かつ $a_1\mu \le \frac{1}{2(1-2\theta)}$ ならば $\|v^{n+1}\|_h \le \|v^n\|_h$。