SL(2,ℝ) の行列の特異値

補題 4.1（「劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M\in SL(2,\mathbb{R})$ （実行列で $\det M=1$ ）とし、 $\sigma=\|M\|$ とする。

実の正規直交基底 $s,t$ が存在して、すべての $a,b\in\mathbb{C}$ で $\|M(as+bt)\|^2=|a|^2\sigma^{-2}+|b|^2\sigma^2$ 。特に $\sigma\ge1$ で、すべての $v$ で $\|Mv\|\ge\sigma^{-1}\|v\|$ 。
$\|M^{-1}\|=\|M\|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素

これを使っている定理証明で参照している 2 件

決定論的な Oseledets の補題✓補題 4.2・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理✓定理 4.3・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数

SL(2,ℝ) の行列の特異値

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件