SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理

定理 4.3（「劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{B},\mu,T)$ をエルゴード的な測度保存系、 $A:X\to SL(2,\mathbb{R})$ を可測で $\log\|A\|\in L^1(\mu)$ とし、 $L\ge0$ を定理 3.2 の Lyapunov 指数とする。

$L>0$ なら、ほとんどすべての $x$ について実の単位ベクトル $s(x)$ が存在して、 $\frac1n\log\|A_n(x)s(x)\|\to-L$ 、かつ $v\in\mathbb{C}^2\setminus\mathbb{C}s(x)$ なら $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to L$ である。さらにほとんどすべての $x$ で $A(x)s(x)\in\mathbb{R}s(Tx)$ （方向の共変性）。
$L=0$ なら、ほとんどすべての $x$ とすべての $v\ne0$ で $\frac1n\log\|A_n(x)v\|\to0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 64 件、定義なども含めて 72 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

SL(2,ℝ) の行列の特異値✓補題 4.1・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
- 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
Furstenberg–Kesten の定理✓定理 3.2・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
- 積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- Kingman の劣加法エルゴード定理✓定理 2.4・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
  - Birkhoff の各点エルゴード定理✓定理 5.2・エルゴード定理（上で展開済み）
  - 劣不変な関数は不変✓補題 2.3・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - エルゴード性の言い換え✓命題 3.3・エルゴード定理（上で展開済み）
Birkhoff の各点エルゴード定理✓定理 5.2・エルゴード定理
- 最大エルゴード補題✓補題 5.1・エルゴード定理
  - 積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 条件付き期待値定義 3.1・条件付き期待値
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラドン・ニコディムの定理✓定理 2.1・条件付き期待値この先をたどる →
- エルゴード性の言い換え✓命題 3.3・エルゴード定理
  - ほとんど不変な集合✓補題 3.2・エルゴード定理
決定論的な Oseledets の補題✓補題 4.2・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
- SL(2,ℝ) の行列の特異値✓補題 4.1・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）