条件付き期待値

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ を確率空間、$\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ を部分 $\sigma$-加法族、$X$ を可積分な確率変数（$E[|X|] < \infty$）とする。確率変数 $Y$ が次の 3 条件を満たすとき、$Y$ を $\mathcal{G}$ が与えられたときの $X$ の条件付き期待値とよび、$Y = E[X \mid \mathcal{G}]$ と書く。

1. $Y$ は $\mathcal{G}$-可測である。
2. $E[|Y|] < \infty$ である。
3. すべての $A \in \mathcal{G}$ に対して $\displaystyle \int_A Y \, dP = \int_A X \, dP$ が成り立つ。

$\mathcal{G} = \sigma(Y_1, \ldots, Y_n)$ のときは $E[X \mid Y_1,\ldots,Y_n]$ とも書く。