数学 › 確率論 › 劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数

決定論的な Oseledets の補題

補題 4.2（「劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M_n\in SL(2,\mathbb{R})$ （ $n\ge1$ ）が、ある $\gamma>0$ について

\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_n\|=\gamma,\qquad\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_{n+1}M_n^{-1}\|=0

を満たすとする。このとき実の単位ベクトル $s$ が存在して

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_ns\|=-\gamma$ 、
$v\in\mathbb{C}^2\setminus\mathbb{C}s$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\log\|M_nv\|=\gamma$ 。

特に $\limsup_n\frac1n\log\|M_nv\|<\gamma$ となる $v$ の全体は 1 次元部分空間 $\mathbb{C}s$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

SL(2,ℝ) の行列の特異値✓補題 4.1・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
- 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素

これを使っている定理証明で参照している 2 件

SL(2,ℝ) コサイクルの Oseledets の定理✓定理 4.3・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数
指数的に減衰する解✓系 5.1・劣加法エルゴード定理と Lyapunov 指数