基準モードへの分解

定理 4.1（「振動と波動」§4）・ ✓公理まで証明済み

$M,K$ が実対称正定値行列ならば、正の数 $\omega_1^2,\ldots,\omega_n^2$ と、 $\boldsymbol{s}_j^{\mathsf T}M\boldsymbol{s}_k=\delta_{jk}$ を満たすベクトル $\boldsymbol{s}_1,\ldots,\boldsymbol{s}_n$ が存在して、 $K\boldsymbol{s}_k=\omega_k^2M\boldsymbol{s}_k$ となる。方程式 $M\ddot{\boldsymbol{x}}=-K\boldsymbol{x}$ の一般解は

\boldsymbol{x}(t)=\sum_{k=1}^n\boldsymbol{s}_k\left(a_k\cos\omega_kt+b_k\sin\omega_kt\right)

である。 $\omega_k$ を基準振動数、 $\boldsymbol{s}_k$ を基準モードという。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理
    随伴行列定義 2.1・スペクトル定理
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

鎖の基準モード✓命題 4.3・振動と波動

基準モードへの分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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