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単純固有値の Ritz ベクトルの誤差

命題 5.2（「固有値問題の離散化」§5） ・ ✓公理まで証明済み

定理 4.2 の 2 の仮定のもとで、n=dim⁡Vh≥kn = \dim V_h \ge k とし、λk\lambda_k を単純固有値（λk−1<λk<λk+1\lambda_{k-1} \lt \lambda_k \lt \lambda_{k+1}。k=1k = 1 では右の不等式だけ）、uku_k を ∥uk∥=1\|u_k\| = 1 の固有ベクトルとする。補題 2.3 の Ritz ベクトル ujhu_j^h について、j≠kj \ne k で λjh≠λk\lambda_j^h \ne \lambda_k とし、

ρ=max⁡j≠kλk∣λjh−λk∣\rho = \max_{j \ne k}\frac{\lambda_k}{|\lambda_j^h - \lambda_k|}

とおく。ukhu_k^h の符号を ⟨Phuk,ukh⟩≥0\langle P_hu_k, u_k^h\rangle \ge 0 となるように選ぶと

∥uk−ukh∥≤2(1+ρ) ∥uk−Phuk∥≤2(1+ρ) η2λk,∥uk−ukh∥a2=λk∥uk−ukh∥2+(λkh−λk)\|u_k - u_k^h\| \le 2(1 + \rho)\,\|u_k - P_hu_k\| \le 2(1 + \rho)\,\eta^2\lambda_k,\qquad \|u_k - u_k^h\|_a^2 = \lambda_k\|u_k - u_k^h\|^2 + (\lambda_k^h - \lambda_k)

が成り立つ。さらに、すき間 gk=min⁡(λk−λk−1,λk+1−λk)g_k = \min(\lambda_k - \lambda_{k-1}, \lambda_{k+1} - \lambda_k)（k=1k = 1 では λ2−λ1\lambda_2 - \lambda_1）について 8η2λk2≤gk8\eta^2\lambda_k^2 \le g_k かつ 4η2λk≤14\eta^2\lambda_k \le 1 ならば、ρ≤2λk/gk\rho \le 2\lambda_k/g_k で

∥uk−ukh∥a≤2ηλk(1+(1+2λkgk)ηλk1/2)\|u_k - u_k^h\|_a \le 2\eta\lambda_k\Bigl(1 + \Bigl(1 + \frac{2\lambda_k}{g_k}\Bigr)\eta\lambda_k^{1/2}\Bigr)

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。