エネルギーノルムでの誤差

定理 5.1（「有限要素法 II」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を多角形領域、 $\mathcal{T}_h$ を $h_T/\rho_T \le \sigma$ を満たす三角形分割とする。任意の $w \in \mathcal{H}^2_{\mathrm{D}}(\Omega)$ は $\bar\Omega$ で連続で $\partial\Omega$ の上で $0$ の代表元をもち、 $I_hw \in V_h$ が定まって $\|\nabla(w - I_hw)\| \le 3\sigma h|w|_{H^2(\Omega)}$ である。したがって、 $f \in L^2(\Omega)$ に対する Poisson 方程式の弱解 $u$ が $\mathcal{H}^2_{\mathrm{D}}(\Omega)$ に属するならば、区分 1 次の有限要素解 $u_h \in V_h$ は

\|\nabla(u - u_h)\| \le \|\nabla(u - I_hu)\| \le 3\sigma h|u|_{H^2(\Omega)}

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 97 件、定義なども含めて 112 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式✓補題 3.3・有限要素法 II
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
区分的に滑らかな連続関数は H¹ に属する✓補題 2.3・有限要素法 II
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
- 正の部分の弱微分✓補題 6.1・楕円型正則性と最大値原理
  - 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理（上で展開済み）
- 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
三角形の上の節点補間の誤差✓定理 4.2・有限要素法 II
- 1 次式による近似（Bramble–Hilbert の補題の 1 次の場合）✓補題 3.5・有限要素法 II
  - 三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式✓補題 3.3・有限要素法 II（上で展開済み）
  - 凸集合の上の Poincaré の不等式✓補題 3.4・有限要素法 II
Céa の補題✓定理 2.5・有限要素法 I
- Galerkin 直交性✓補題 2.4・有限要素法 I
  - Galerkin 近似の適切性✓定理 2.3・有限要素法 I
    Lax–Milgram の定理✓定理 3.2・楕円型方程式の弱解と変分法この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

L² ノルムでの誤差（Aubin–Nitsche）✓定理 5.4・有限要素法 II

エネルギーノルムでの誤差

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件