情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 有限要素法 II

三角形の上の節点補間の誤差

定理 4.2（「有限要素法 II」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を閉じた三角形、 $u \in \mathcal{H}^2(T)$ とし、 $I_Tu = \sum_{i=0}^{2}u(a_i)\lambda_i$ （ $u$ は連続な代表元）とする。このとき

\|u - I_Tu\|_{L^2(T)} \le h_T^2|u|_{H^2(T)},\qquad|u - I_Tu|_{H^1(T)} \le 3\,\frac{h_T^2}{\rho_T}|u|_{H^2(T)}

が成り立つ。形状正則な分割（ $h_T \le \sigma\rho_T$ ）では右辺は $3\sigma h_T|u|_{H^2(T)}$ 以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 次式による近似（Bramble–Hilbert の補題の 1 次の場合）✓補題 3.5・有限要素法 II
- 三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式✓補題 3.3・有限要素法 II
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 凸集合の上の Poincaré の不等式✓補題 3.4・有限要素法 II

これを使っている定理証明で参照している 1 件

エネルギーノルムでの誤差✓定理 5.1・有限要素法 II

関連するノック 1 問

偏微分方程式の離散化第 28 問