L² ノルムでの誤差（Aubin–Nitsche）

定理 5.4（「有限要素法 II」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を多角形領域、 $\mathcal{T}_h$ を $h_T/\rho_T \le \sigma$ を満たす三角形分割とし、仮定 (R) が成り立つとする。 $w \in H^1_0(\Omega)$ とその Ritz 射影 $R_hw \in V_h$ （ $\langle\nabla(R_hw - w), \nabla v_h\rangle = 0$ 、 $v_h \in V_h$ ）について

\|w - R_hw\| \le 3\sigma C_Rh\,\|\nabla(w - R_hw)\|

が成り立つ。さらに $w \in \mathcal{H}^2_{\mathrm{D}}(\Omega)$ ならば $\|w - R_hw\| \le C_Ah^2|w|_{H^2(\Omega)}$ 、 $C_A = 9\sigma^2C_R$ である。特に、Poisson 方程式の弱解 $u$ （(R) から $\mathcal{H}^2_{\mathrm{D}}(\Omega)$ に属する）とその有限要素解 $u_h = R_hu$ について

\|u - u_h\| \le 9\sigma^2C_Rh^2|u|_{H^2(\Omega)} \le 9\sigma^2C_R^2h^2\|f\|.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 98 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

エネルギーノルムでの誤差✓定理 5.1・有限要素法 II
- 三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式✓補題 3.3・有限要素法 II
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 区分的に滑らかな連続関数は H¹ に属する✓補題 2.3・有限要素法 II
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - 正の部分の弱微分✓補題 6.1・楕円型正則性と最大値原理
    局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理（上で展開済み）
  - 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
    弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 三角形の上の節点補間の誤差✓定理 4.2・有限要素法 II
  - 1 次式による近似（Bramble–Hilbert の補題の 1 次の場合）✓補題 3.5・有限要素法 II
    三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式✓補題 3.3・有限要素法 II（上で展開済み）
    凸集合の上の Poincaré の不等式✓補題 3.4・有限要素法 II
- Céa の補題✓定理 2.5・有限要素法 I
  - Galerkin 直交性✓補題 2.4・有限要素法 I（上で展開済み）
Galerkin 直交性✓補題 2.4・有限要素法 I
- Galerkin 近似の適切性✓定理 2.3・有限要素法 I
  - Lax–Milgram の定理✓定理 3.2・楕円型方程式の弱解と変分法
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →

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熱方程式の有限要素法の誤差評価✓定理 7.2・有限要素法 II

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