熱方程式の有限要素法の誤差評価

$\Omega$、$\mathcal{T}_h$ は 定理 5.4 の仮定（形状正則性と (R)）を満たすとし、$C_A = 9\sigma^2C_R$ とする。$u : [0, T_{\mathrm{f}}] \to \mathcal{H}^2_{\mathrm{D}}(\Omega)$ は $H^2(\Omega)$ のノルムで連続微分可能で、$f \in C([0,T_{\mathrm{f}}]; L^2(\Omega))$、すべての $t$ と $v \in H^1_0(\Omega)$ について $\langle u_t, v\rangle + \langle\nabla u, \nabla v\rangle = \langle f, v\rangle$ を満たすとする。

1. （半離散）$\displaystyle\|u_h(t) - u(t)\| \le \|u_{0h} - R_hu_0\| + C_Ah^2\Bigl(|u(t)|_{H^2} + \int_0^t|u_t(s)|_{H^2}\,ds\Bigr)$。特に $u_{0h} = R_hu_0$ なら、右辺は $C_Ah^2\bigl(|u_0|_{H^2} + 2\int_0^t|u_t|_{H^2}ds\bigr)$ 以下である。
2. （陰的 Euler）$u$ が $L^2(\Omega)$ のノルムで 2 回連続微分可能ならば、$t_n \le T_{\mathrm{f}}$ について $\|U^n - u(t_n)\| \le \|U^0 - R_hu_0\| + C_Ah^2\bigl(|u(t_n)|_{H^2} + t_n\sup_s|u_t(s)|_{H^2}\bigr) + \dfrac{\Delta t}{2}\,t_n\sup_s\|u_{tt}(s)\|$。
3. （Crank–Nicolson）$u$ が $L^2(\Omega)$ のノルムで 3 回連続微分可能ならば、 $\|U^n - u(t_n)\| \le \|U^0 - R_hu_0\| + C_Ah^2\bigl(|u(t_n)|_{H^2} + t_n\sup_s|u_t(s)|_{H^2}\bigr) + \dfrac{\Delta t^2}{12}\,t_n\sup_s\|u_{ttt}(s)\|$。