数学 › 偏微分方程式 › 楕円型正則性と最大値原理

Hölder 空間

定義 5.1（「楕円型正則性と最大値原理」§5）

U⊂RnU\subset\mathbb{R}^n を開集合、0<α≤10\lt\alpha\le1、k≥0k\ge0 を整数とする。UU 上の関数 gg の Hölder 半ノルムを

[g]α;U=sup⁡x≠y∈U∣g(x)−g(y)∣∣x−y∣α[g]_{\alpha;U}=\sup_{x\ne y\in U}\frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|^\alpha}

と置く。g∈Ck(U)g\in C^k(U) で、多重指数 ∣β∣≤k|\beta|\le k のすべての偏導関数 ∂βg\partial^\beta g が UU 上有界かつ一様連続（したがって Uˉ\bar U へ連続に延びる）であり、∣β∣=k|\beta|=k について [∂βg]α;U<∞[\partial^\beta g]_{\alpha;U}\lt\infty となるもの全体を Ck,α(Uˉ)C^{k,\alpha}(\bar U) と書き、Hölder 空間という。ノルムは

∥g∥Ck,α(Uˉ)=∑∣β∣≤ksup⁡U∣∂βg∣+∑∣β∣=k[∂βg]α;U\|g\|_{C^{k,\alpha}(\bar U)}=\sum_{|\beta|\le k}\sup_U|\partial^\beta g|+\sum_{|\beta|=k}[\partial^\beta g]_{\alpha;U}

とする。α=1\alpha=1 の C0,1(Uˉ)C^{0,1}(\bar U) は有界な Lipschitz 関数の空間である。UU の各点がある開球 BB（Bˉ⊂U\bar B\subset U）を近傍にもち、g∣B∈Ck,α(Bˉ)g|_B\in C^{k,\alpha}(\bar B) となるとき、g∈Ck,α(U)g\in C^{k,\alpha}(U)（局所 Hölder 空間）と書く。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。