数学 › 偏微分方程式 › 楕円型正則性と最大値原理

Allegretto–Piepenbrink の定理

定理 7.1（「楕円型正則性と最大値原理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

E∈RE\in\mathbb{R} とし、ψ∈C2(Ω)\psi\in C^2(\Omega) が Ω\Omega 上で ψ>0\psi\gt0、−Δψ+Vψ≥Eψ-\Delta\psi+V\psi\ge E\psi を満たすとする。このとき、すべての φ∈Cc∞(Ω)\varphi\in C_c^\infty(\Omega) で

h[φ]=∫Ωψ2∣∇φψ∣2dx+∫Ωφ2ψ(−Δψ+Vψ)dx≥E∫Ωφ2dxh[\varphi]=\int_\Omega\psi^2\Bigl|\nabla\frac\varphi\psi\Bigr|^2dx+\int_\Omega\frac{\varphi^2}\psi\bigl(-\Delta\psi+V\psi\bigr)dx\ge E\int_\Omega\varphi^2dx

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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