調和関数の勾配の減衰

補題 5.4（「楕円型正則性と最大値原理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$v$ が $B(x_0,R)$ で調和で $\nabla v\in L^2(B(x_0,R))$ なら、 $0\lt\rho\le R$ について

\int_{B(x_0,\rho)}|\nabla v-(\nabla v)_{x_0,\rho}|^2\le C(n)\Bigl(\frac\rho R\Bigr)^{n+2}\int_{B(x_0,R)}|\nabla v-(\nabla v)_{x_0,R}|^2 .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

調和関数の導関数の評価✓命題 3.4・ラプラス方程式と調和関数
- 平均値の性質の逆と滑らかさ✓定理 3.3・ラプラス方程式と調和関数
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数
    回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
  - 平均値の性質✓定理 3.2・ラプラス方程式と調和関数
    n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
    球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
  - 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数

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Schauder 評価（Campanato の方法）✓定理 5.6・楕円型正則性と最大値原理

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