数学 › 偏微分方程式 › 楕円型正則性と最大値原理

Schauder 評価（Campanato の方法）

定理 5.6（「楕円型正則性と最大値原理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 109 件、定義なども含めて 128 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Lax–Milgram の定理✓定理 3.2・楕円型方程式の弱解と変分法

  • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎

    • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎

      • 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
      • 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
      • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  • 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎

    • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
    • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
• Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法
• Weyl の補題✓補題 5.3・楕円型正則性と最大値原理

  • 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理

    • 弱微分と $W^{k,p}$定義 2.1・Sobolev 空間
    • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  • 調和関数の導関数の評価✓命題 3.4・ラプラス方程式と調和関数

    • 平均値の性質の逆と滑らかさ✓定理 3.3・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
    • n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数

      • ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理 この先をたどる →
      • 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
      • 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  • 平均値の性質の逆と滑らかさ✓定理 3.3・ラプラス方程式と調和関数

    • 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数

      • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
    • 平均値の性質✓定理 3.2・ラプラス方程式と調和関数

      • n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
      • 球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
• 調和関数の勾配の減衰✓補題 5.4・楕円型正則性と最大値原理

  • 調和関数の導関数の評価✓命題 3.4・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
• 反復補題✓補題 5.5・楕円型正則性と最大値原理
• Campanato の定理✓定理 5.2・楕円型正則性と最大値原理

  • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
      • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Poisson 方程式の Schauder 評価✓系 5.7・楕円型正則性と最大値原理

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