数学 › 微分幾何学 › 指数定理

フレドホルム作用素と指数

定義 2.1（「指数定理」§2）

H1,H2H_1, H_2 を可分ヒルベルト空間とします。有界線型作用素 T∈B(H1,H2)T \in \mathcal{B}(H_1, H_2) がフレドホルム作用素であるとは、

  1. dim⁡ker⁡T<∞\dim \ker T < \infty、
  2. 値域 ran⁡T\operatorname{ran} T が H2H_2 の閉部分空間、
  3. dim⁡coker⁡T=dim⁡(H2/ran⁡T)<∞\dim \operatorname{coker} T = \dim (H_2 / \operatorname{ran} T) < \infty

の三つが成り立つことをいいます。このとき

ind⁡T:=dim⁡ker⁡T−dim⁡coker⁡T∈Z\operatorname{ind} T := \dim \ker T - \dim \operatorname{coker} T \in \mathbb{Z}

を TT の指数と呼びます。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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