数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Bochner の公式と消滅定理

系 5.4（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 177 件、定義なども含めて 203 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
• Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式 この先をたどる →
      • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
      • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    • Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
      • 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
      • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
      • Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
      • 弱微分と $W^{k,p}$定義 2.1・Sobolev 空間
      • $Hᵏ = W^{k,2}$✓命題 3.2・Sobolev 空間 この先をたどる →
      • 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
      • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
      • Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論 この先をたどる →
      • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
      • 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
    • 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  • Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
      • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
  • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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