余微分と Hodge Laplacian

$k$ 形式 $\beta$ に対し $\delta\beta=(-1)^{n(k+1)+1}\star d\star\beta\in\Omega^{k-1}(M)$ を余微分、$\Delta=d\delta+\delta d\colon\Omega^k\to\Omega^k$ を Hodge Laplacian という。$\Delta\omega=0$ となる $\omega$ を調和形式といい、その全体を $\mathcal{H}^k$ と書く。