静的な積の因果関係

補題 6.9（「因果階層」§6）・ ✓公理まで証明済み

$J\subset\mathbb{R}$ を開区間、 $(F,h)$ を連結で完備な Riemann 多様体、 $d$ をその距離とし、 $J\times F$ に計量 $-d\tau^2+h$ と時間向き付け $\partial_\tau$ を入れる。

未来向き因果的曲線 $\alpha(s)=(\tau(s),x(s))$ は $\dot\tau\gt0$ かつ $|\dot x|_h\le\dot\tau$ を満たす。
$p=(\tau_p,x_p)$ 、 $q=(\tau_q,x_q)$ について、 $q\in J^+(p)$ と $\tau_q-\tau_p\ge d(x_p,x_q)$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 82 件、定義なども含めて 98 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hopf–Rinow の定理✓定理 5.2・測地線と完備性
- 指数写像が全域で定義される点からの最短測地線✓補題 5.1・測地線と完備性
  - Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
    Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性この先をたどる →
  - 最短曲線は測地線✓系 4.5・測地線と完備性
    一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
  - 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
    測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性（上で展開済み）
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

warped 積の大域双曲性✓定理 6.10・因果階層

静的な積の因果関係

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件