数学 › 微分幾何学 › 測地線と完備性

双曲平面の測地線と距離

定理 7.2（「測地線と完備性」§7） ・ ✓公理まで証明済み

  1. γ(t)=iet\gamma(t)=ie^t は単位速さの測地線で、d(i,iy)=∣log⁡y∣d(i,iy)=|\log y| である。
  2. H\mathbb{H} の極大な測地線は R\mathbb{R} 全体で定義され（H\mathbb{H} は完備）、その像は、実軸に垂直な半直線 {Re⁡z=a}\{\operatorname{Re}z=a\} か、中心が実軸上にある半円 {∣z−c∣=r, Im⁡z>0}\{|z-c|=r,\ \operatorname{Im}z>0\} である。逆にこれらはすべて測地線の像である。
  3. 異なる 2 点を通る測地線はただ一つで、距離は
cosh⁡d(z,w)=1+∣z−w∣22Im⁡z Im⁡w\cosh d(z,w)=1+\frac{|z-w|^2}{2\operatorname{Im}z\,\operatorname{Im}w}

で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 83 件、定義なども含めて 99 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。