Riemann 曲率テンソル

定義 2.1（「曲率テンソル」§2）

$X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M)$ に対し

R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z

と定める。また $R(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)Z,W\rangle$ と書く。座標では $R(\partial_i,\partial_j)\partial_k=\sum_lR_{ijk}{}^l\partial_l$ と成分を定める。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。