数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

関数に対する Bochner の公式

補題 2.1（「ポアンカレ予想 II」§2） ・ ✓公理まで証明済み

Riemann 多様体上の滑らかな関数 ff について

Δ∇kf=∇kΔf+Rkl∇lf,12Δ∣∇f∣2=∣∇2f∣2+⟨∇f,∇Δf⟩+Ric⁡(∇f,∇f).\Delta\nabla_kf=\nabla_k\Delta f+R_{kl}\nabla^lf,\qquad \tfrac12\Delta|\nabla f|^2=|\nabla^2f|^2+\langle\nabla f,\nabla\Delta f\rangle+\operatorname{Ric}(\nabla f,\nabla f).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件