F の単調性

定理 3.3（「ポアンカレ予想 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられた閉多様体とし、 $g(t)$ 、 $f(t)$ （ $t\in[t_1,t_2]$ ）が

\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric},\qquad \frac{\partial f}{\partial t}=-\Delta f+|\nabla f|^2-R

を満たすとする。このとき $\int_Me^{-f}dV$ は $t$ によらず、

\frac{d}{dt}\mathcal{F}(g(t),f(t))=2\int_M\bigl|\operatorname{Ric}+\nabla^2f\bigr|^2e^{-f}\,dV\ \ge0 .

$f$ の方程式は、 $u=e^{-f}$ が共役熱方程式 $\Box^*u=0$ を満たすことと同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II
F の第一変分✓補題 3.2・ポアンカレ予想 II
- 曲率の変分公式✓補題 4.1・ポアンカレ予想 I
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
関数に対する Bochner の公式✓補題 2.1・ポアンカレ予想 II
- Riemann 曲率テンソル定義 2.1・曲率テンソル
- 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル
縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル
- 第 2 Bianchi 恒等式✓定理 5.1・曲率テンソル
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル