λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少

命題 4.3（「ポアンカレ予想 II」§4）・ △証明あり（閉包未完）

$M$ を連結な向き付けられた閉多様体とする。

$\lambda(g)$ は $-4\Delta+R$ の最小固有値 $\lambda_1$ に等しい。下限は、正で $\int\phi_1^2dV=1$ を満たす固有関数 $\phi_1$ から決まる $f=-2\log\phi_1$ で、そしてそれだけで達成される。この $f$ は $2\Delta f-|\nabla f|^2+R=\lambda(g)$ を満たす。
微分同相 $\psi$ と定数 $c\gt0$ について $\lambda(\psi^*g)=\lambda(g)$ 、 $\lambda(cg)=c^{-1}\lambda(g)$ 。
$g(t)$ （ $t\in[t_1,t_2]$ ）が Ricci flow の解ならば $\lambda(g(t_1))\le\lambda(g(t_2))$ 。
(3) で等号が成り立つならば、 $f(\cdot,t_2)$ を時刻 $t_2$ での最小化関数として定理 3.3 の連立系を解いた $f$ について、すべての $t\in[t_1,t_2]$ で $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$ が成り立ち、各 $f(\cdot,t)$ は時刻 $t$ での最小化関数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

共役熱方程式の可解性※補題 2.4・ポアンカレ予想 II

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

−4Δ + V の最小固有値と正の固有関数✓補題 4.2・ポアンカレ予想 II
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- Laplace 型作用素定義 2.1・熱核の漸近展開
- 熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
  - 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - Schatten クラスとトレースクラス定義 7.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性この先をたどる →
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
  - 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性この先をたどる →
  - 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
- スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
- 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
  - Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性（上で展開済み）
共役熱方程式の可解性※補題 2.4・ポアンカレ予想 II
共役熱方程式の解の正値性✓補題 2.6・ポアンカレ予想 II
- スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
F の単調性✓定理 3.3・ポアンカレ予想 II
- 熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II
- F の第一変分✓補題 3.2・ポアンカレ予想 II
  - 曲率の変分公式✓補題 4.1・ポアンカレ予想 I この先をたどる →
- 関数に対する Bochner の公式✓補題 2.1・ポアンカレ予想 II
  - Riemann 曲率テンソル定義 2.1・曲率テンソル
  - 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル
- 縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル
  - 第 2 Bianchi 恒等式✓定理 5.1・曲率テンソル
  - 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル

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閉多様体上の定常 breather は Ricci 平坦△系 4.5・ポアンカレ予想 II

λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少

閉包の状態

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