数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II
閉多様体上の定常 breather は Ricci 平坦
を連結な向き付けられた閉多様体、 を 上の Ricci flow の解とし、 と微分同相 について とする。このとき、すべての で であり、 は によらない。
閉包の状態
△ 証明あり（閉包未完）
証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:
- λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少△命題 4.3・ポアンカレ予想 II
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
λ は最小固有値で、Ricci flow に沿って非減少△命題 4.3・ポアンカレ予想 II
−4Δ + V の最小固有値と正の固有関数✓補題 4.2・ポアンカレ予想 II
関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
- Laplace 型作用素定義 2.1・熱核の漸近展開
熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
- 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開 この先をたどる →
- Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理 この先をたどる →
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開 この先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
- Schatten クラスとトレースクラス定義 7.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
- トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性 この先をたどる →
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性 この先をたどる →
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
- スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
- 共役熱方程式の可解性※補題 2.4・ポアンカレ予想 II
共役熱方程式の解の正値性✓補題 2.6・ポアンカレ予想 II
- スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
F の単調性✓定理 3.3・ポアンカレ予想 II
- 熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II
関数に対する Bochner の公式✓補題 2.1・ポアンカレ予想 II
- Riemann 曲率テンソル定義 2.1・曲率テンソル
- 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル
縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル
- 第 2 Bianchi 恒等式✓定理 5.1・曲率テンソル
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。