熱作用素と共役熱作用素の双対性

命題 2.3（「ポアンカレ予想 II」§2）・ ✓公理まで証明済み

$g(t)$ （ $t\in[t_1,t_2]$ ）を向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解、 $u,v$ を $M\times[t_1,t_2]$ 上の滑らかな関数とする。このとき

\frac{d}{dt}\int_Muv\,dV=\int_M\bigl(v\,\Box u-u\,\Box^*v\bigr)\,dV .

とくに $\Box^*v=0$ ならば $\int_Mv\,dV$ は $t$ によらない。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。