3 次元多様体の中の曲面の Gauss 方程式

$(M,g)$ を $3$ 次元 Riemann 多様体、$\Sigma\subset M$ を埋め込まれた曲面とし、$\Sigma$ に誘導計量を入れる。$x\in\Sigma$ の近くで単位法ベクトル場 $\nu$ を取り、$\Sigma$ に接するベクトル場 $X,Y$ に対し第 2 基本形式を $\mathrm{II}(X,Y)=\langle\nabla_XY,\nu\rangle$ と置く（$\nabla$ は $M$ の Levi-Civita 接続）。$\mathrm{II}$ は対称で、$T_x\Sigma$ の正規直交基底 $e_1,e_2$ について

ここで $K_\Sigma$ は $\Sigma$ の Gauss 曲率（誘導計量の断面曲率）、$K_M(T_x\Sigma)$ は $M$ の断面曲率である。右辺の $\mathrm{II}$ の項 $\det\mathrm{II}$ と $|\mathrm{II}|^2=\sum_{i,j}\mathrm{II}(e_i,e_j)^2$ は $\nu$ の符号の取り方によらない。