数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

μ の単調性

命題 5.3（「ポアンカレ予想 II」§5）・ △証明あり（閉包未完）

$g(t)$ （ $t\in[t_1,t_2]$ ）を向き付けられた閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解、 $\tau_2\gt0$ とし、 $\tau(t)=\tau_2+t_2-t$ と置く。このとき

\mu\bigl(g(t_1),\tau(t_1)\bigr)\le\mu\bigl(g(t_2),\tau_2\bigr).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

共役熱方程式の可解性※補題 2.4・ポアンカレ予想 II

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共役熱方程式の可解性※補題 2.4・ポアンカレ予想 II
共役熱方程式の解の正値性✓補題 2.6・ポアンカレ予想 II
- スカラー最大値原理（ODE との比較）✓定理 5.1・ポアンカレ予想 I
W の単調性（Perelman のエントロピー公式）✓定理 5.2・ポアンカレ予想 II
- F の単調性✓定理 3.3・ポアンカレ予想 II
  - 熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II
  - F の第一変分✓補題 3.2・ポアンカレ予想 II
    曲率の変分公式✓補題 4.1・ポアンカレ予想 I この先をたどる →
  - 関数に対する Bochner の公式✓補題 2.1・ポアンカレ予想 II
    Riemann 曲率テンソル定義 2.1・曲率テンソル
    断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル
  - 縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル
    第 2 Bianchi 恒等式✓定理 5.1・曲率テンソル
    曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
- 熱作用素と共役熱作用素の双対性✓命題 2.3・ポアンカレ予想 II

これを使っている定理証明で参照している 1 件

非崩壊定理 I（Perelman）△定理 6.2・ポアンカレ予想 II