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Jensen の不等式

定理 4.4（「凸解析」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ を確率空間とする。

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ を凸関数、 $X$ を可積分な $\mathbb{R}^n$ 値確率変数とすると、 $f(X)$ の期待値は $(-\infty,\infty]$ の値として定まり、 $f(E[X])\le E[f(X)]$ である。
$n=1$ で、 $f$ が開区間 $I$ 上で有限な凸関数、 $X$ が $I$ に値をとる可積分な確率変数なら、 $E[X]\in I$ であり、同じ不等式が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

劣微分の存在と最大値公式✓定理 4.3・凸解析
- 方向微分は劣線形✓補題 4.2・凸解析
  - 1 変数の凸関数の片側微分✓命題 3.4・凸解析
- 凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析（上で展開済み）
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
  - 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
凸関数の局所リプシッツ性✓定理 3.2・凸解析
- 有界ならリプシッツ✓補題 3.1・凸解析

これを使っている定理証明で参照している 5 件

エントロピーの基本性質✓補題 4.1・熱力学的極限
非崩壊定理 I（Perelman）△定理 6.2・ポアンカレ予想 II
μ の下界✓補題 6.4・ポアンカレ予想 II
Boué–Dupuis 公式✓定理 8.9・Gauss 解析の道具
切断の除去による有限体積ハミルトニアンの構成✓定理 4.4・P(φ)₂ 模型の構成