エントロピーの基本性質

(i) 有限集合 $X$ 上の関数 $H$ について $\log\sum_{a\in X}e^{-H(a)}=\max_\nu\bigl(S(\nu)-\nu(H)\bigr)$ で、最大値は $\nu(a)=e^{-H(a)}/\sum e^{-H}$ でとられる（有限体積の Gibbs の変分原理）。

(ii) $0\le S_\Lambda(\mu)\le|\Lambda|\log|S|$。$\Lambda\subset\Lambda'$ ならば $S_\Lambda(\mu)\le S_{\Lambda'}(\mu)$。

(iii) $\Lambda_1\cap\Lambda_2=\emptyset$ ならば $S_{\Lambda_1\cup\Lambda_2}(\mu)\le S_{\Lambda_1}(\mu)+S_{\Lambda_2}(\mu)$ で、$\mu$ の $\Omega_{\Lambda_1\cup\Lambda_2}$ への周辺分布が $\Omega_{\Lambda_1}$ と $\Omega_{\Lambda_2}$ の周辺分布の直積ならば等号が成り立つ。

(iv) $\mu\mapsto S_\Lambda(\mu)$ は凹である。