1 変数の凸関数の片側微分

$I\subseteq\mathbb{R}$ を開区間、$f$ を $I$ 上で有限な凸関数とする。

1. （3 弦の補題）$s<t<u$ が $I$ の点なら $\dfrac{f(t)-f(s)}{t-s}\le\dfrac{f(u)-f(s)}{u-s}\le\dfrac{f(u)-f(t)}{u-t}$。
2. 各 $x\in I$ で片側微分 $f'_-(x)$、$f'_+(x)$ が存在し、$x<y$ なら $f'_-(x)\le f'_+(x)\le f'_-(y)\le f'_+(y)$。
3. $f$ が微分可能でない点は高々可算個である。