簡約体積の単調性（Perelman）

定義 7.1 の状況で、$M$ は閉多様体であるか、各 $g(t)$ が完備で曲率が $M\times[0,T]$ 上で有界であるとする。このとき、各 $\bar\tau\in(0,t_0]$ について $l(\cdot,\bar\tau)$ は局所 Lipschitz 連続な関数で、$\tilde V(\bar\tau)$ は $\bar\tau$ について非増加であり、$\lim_{\bar\tau\to0}\tilde V(\bar\tau)=1$ である。とくに $\tilde V\le1$。さらに、$\tau_1\lt\tau_2$ で $\tilde V(\tau_1)=\tilde V(\tau_2)$ ならば、$g(t)$ は $t_0-\tau_2\le t\le t_0-\tau_1$ で縮小勾配ソリトンである。