数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 II

L 長さ・簡約距離・簡約体積

定義 7.1（「ポアンカレ予想 II」§7）

g(t)g(t)（t∈[0,T]t\in[0,T]）を nn 次元多様体 MM 上の Ricci flow の解、p∈Mp\in M、t0∈(0,T]t_0\in(0,T] とし、逆向きの時間 τ=t0−t\tau=t_0-t を使う。τˉ∈(0,t0]\bar\tau\in(0,t_0] と、区分的に滑らかな曲線 β ⁣:[0,2τˉ]→M\beta\colon[0,2\sqrt{\bar\tau}]\to M に対し、γ(τ)=β(2τ)\gamma(\tau)=\beta(2\sqrt\tau) の L\mathcal{L} 長さを

L(γ)=∫0τˉτ (R(γ(τ),t0−τ)+∣γ˙(τ)∣g(t0−τ)2) dτ=∫02τˉ(∣β′(s)∣2+s24R(β(s)))ds\mathcal{L}(\gamma)=\int_0^{\bar\tau}\sqrt\tau\,\bigl(R(\gamma(\tau),t_0-\tau)+|\dot\gamma(\tau)|^2_{g(t_0-\tau)}\bigr)\,d\tau=\int_0^{2\sqrt{\bar\tau}}\Bigl(|\beta'(s)|^2+\frac{s^2}{4}R(\beta(s))\Bigr)ds

と定める（右辺の計量と RR は時刻 t0−s2/4t_0-s^2/4 のもの。2 つの表示は変数変換 s=2τs=2\sqrt\tau で移り合う）。γ(0)=p\gamma(0)=p、γ(τˉ)=q\gamma(\bar\tau)=q となる曲線についての下限を L(q,τˉ)L(q,\bar\tau) とし、

l(q,τˉ)=L(q,τˉ)2τˉ,V~(τˉ)=∫M(4πτˉ)−n/2e−l(q,τˉ) dVg(t0−τˉ)(q)l(q,\bar\tau)=\frac{L(q,\bar\tau)}{2\sqrt{\bar\tau}},\qquad \tilde V(\bar\tau)=\int_M(4\pi\bar\tau)^{-n/2}e^{-l(q,\bar\tau)}\,dV_{g(t_0-\bar\tau)}(q)

を簡約距離、簡約体積という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。