Hamilton のコンパクト性定理と単射半径の評価

定理 7.7（「ポアンカレ予想 II」§7）・ ※主張のみ

（Hamilton） $(M_k,g_k(s),x_k)$ （ $s\in(a,b)$ 、 $a\lt0\lt b$ ）を完備な $n$ 次元の Ricci flow の解と基点の列とし、定数 $C,\iota\gt0$ があって、すべての $k$ で $M_k\times(a,b)$ 上 $|\operatorname{Rm}(g_k)|\le C$ 、かつ $g_k(0)$ の $x_k$ での単射半径が $\iota$ 以上であるとする。このとき部分列を取ると、完備な Ricci flow の解 $(M_\infty,g_\infty(s),x_\infty)$ （ $s\in(a,b)$ ）と、 $M_\infty$ を尽くす開集合の増大列 $U_k\ni x_\infty$ 、 $x_\infty$ を $x_k$ に写す像への微分同相 $\Phi_k\colon U_k\to M_k$ があって、 $\Phi_k^*g_k$ が $M_\infty\times(a,b)$ のコンパクト集合上ですべての階数の導関数まで込めて $g_\infty$ に一様収束する。
（Cheeger–Gromov–Taylor） $n$ と $\kappa\gt0$ だけで決まる $c\gt0$ があって、完備な $n$ 次元 Riemann 多様体の距離球 $B(x,r)$ の上で断面曲率の絶対値が $r^{-2}$ 以下、かつ $\operatorname{vol}B(x,r)\ge\kappa r^n$ ならば、 $x$ での単射半径は $c\,r$ 以上である。

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は本文の注意にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。